3月22日

みなさんこんにちは。...最近、今更といっていいほど過ぎてしまいましたが気がついたんです。ブログ始めてから一年が経ったということを。

もうすぐその2月10日から2ヶ月が過ぎ去ろうとしています。もしこのブログを読んでいてくれた人が一人でもいらっしゃったなら本当に嬉しいです。とにかく、これからもよろしくお願いします！

　

さて今日なんですが、調べてみて知りました。今日は2025年になってから81日目なんだそうです。

数学好きの人ならわかる...と言えることの程ではないのかもしれませんが、81って9の2乗ですよね。整数の2乗になっているこのような数を平方数といいます。

というわけで唐突なんですが、下の式を見てください。

$$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+\cdots+n^2$$

nは正の整数、自然数です。要するに平方数の和です。ちなみに、高校数学を使えばこう書けますよね。

$$\sum_{k=1}^{n}k^2$$

ちなみにこれも高校数学ですが、この総和を求めるとこうなります。

$$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$$

例えば1~6までの整数を2乗したものの総和なら上に代入して（n=6）91になります。

では、次はどうでしょう？

$$\sum_{k=1}^{\infty}k^2$$

...そりゃ無限大...って、初見なら思いますよね。というか、それも正しいです。

もちろん、普通に1から順に足していけば減ることはないので、結果は増えるばかりです。

ただ、ある時数学者はこう言いました。

$$\sum_{k=1}^{\infty}k^2=0$$

　

　

少し話が変わりますが、ゼータ関数。名前を聞いたことのある人もいらっしゃるのではないでしょうか。

$$\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{x}}(x>1)$$

ゼータという名前にとらわれないで、こういう関数と思ってもらって結構です。

...さて、はじめに書いておきますが、これはx>1という前提の元成り立っています。なぜそんな前提が必要なのか？下の式を見てください。xに-1を代入しています。

$$\frac{1}{1^{-1}}+\frac{1}{2^{-1}}+\cdots+\frac{1}{\infty^{-1}}=1+2+\cdots+\infty$$

要するに自然数の総和です。

...実は、ゼータ関数の性質上、この式は-1/12という負の数に収束するということが知られています（ここでは証明は割愛しますが...）。

おかしいですよね（おかしいですよね？）。無限大になるはずですから。実際、間違っています。単純にそんなわけないからです。

なぜこんな事が起こってしまったかといえば、ゼータ関数のxに無理やり-1なんて定義域の外（つまり1以下）の数を入れてしまったからです。変なことが起こるので、x>1という前提が必要なんですね。

　

ただ、それでもある人が自然数の総和が-1/12だと言うのには理由があります。...あ、結構長くなってしまいましたね。

来週は天気図考察でお休みします...なので、続きは4月に書こうと思います。その"理由"を使うと、最初の平方数の和も0に...？

今週もお疲れ様でした。来週も頑張りましょう！