8月9日
リチャートんこんにちは。東京ではちょっとだけ暑さが和らいだ気がします。
今回は89という数について紹介します。
まずこれを見てください。
1,1,2,3,5,8,13,21,･･･
フィボナッチ数列です。フィボナッチ数列については、過去のブログで取り上げました。
フィボナッチ数列の一般項については12月7日のブログで示しました。
マスセプト！ さて、89もフィボナッチ数列の1つの項です。その中でも89は素数ですね。フィボナッチ数列の項and素数ということで89はフィボナッチ素数と呼ばれる数の1つです。
2,3,5,13,89,233,1597,28657,514229,433494437,2971215073,･･･
フィボナッチ数列と比べれば、フィボナッチ素数はかなり珍しい数であると言えます。
なぜか？
12月21日のブログにヒントがありました。
フィボナッチ数列の項nの約数n_2の倍数の数は等間隔に現れるということを示しました。
...n_2の倍数というのはn_2出ない限り素数ではありませんよね。またn_2もフィボナッチ数列に現れるかわかりません。
素数でない数が等間隔に現れてしまうので、素数であるn_2が現れる可能性というのは低いと感覚的に考えられますよね。
そもそも、素数の出現頻度も低いですよね。これも同じような理由で言えると思います。自然数の中のある数の倍数が等間隔に現れるのは当たり前なので。そういう意味では、フィボナッチ数列と自然数の数列は似たような性質があると言えます。
また、フィボナッチ素数が無限に存在するのかというのは未解決問題です（もちろんフィボナッチ数列は無限に続きますが）。素数は無限に存在するのでそうであってほしいなと思いますが、そういうわけにもいかないみたいです。
というのも、例えばユークリッドによる素数は無限に存在することの証明では
・素数が2,3しかないと仮定するよ
・2×3+1=7で、この数は素数である2,3どちらによっても割り切れないから7も素数だよね
・なら最初の過程に矛盾するよね
・だから素数は無限に存在するよね
というふうな証明方法を用いています。これをフィボナッチ数列上でやろうとするとある項とある項の積がフィボナッチ数列に含まれると限らないので失敗してしまうんですよね。あくまで一例ですが。
フィボナッチ数列に適用できるような、自然数の中に素数が無限に存在することの証明ってあるんでしょうか？気になります。
今回はフィボナッチ素数について取り上げました。それでは、来週も明るく過ごしていきましょう！
さて、89もフィボナッチ数列の
