10月5日
リチャートんこんにちは。涼しくなったと思ったらまた暑くなって、体調を崩しやすいですね...
今日は、105という自然数についての話題です。
みなさん、投稿をさかのぼっていただけるとわかるのですが、一番最初の投稿、2月10日は、三角数に関する話題をあげました。210は三角数ですよね。
三角数とは、『1からnまでの自然数の総和』のこと。例えば6は、1+2+3という1から3までの自然数の総和なので、三角数です。という説明があると思います。
さて、105という数も、三角数です。
$$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14=105$$
これは、$\frac{(1+14)\times{14}}{2}=105$ということからわかりますよね（総和を求める公式）。
そして、今回はもう少し、この三角数について詳しく考えようと思います。
『ΕΥΡΗΚΑ! num=△+△+△』
これは、あのガウスが自身の日記に書き込んだもの。△というのは三角数のことです。
EYPHKA（エウレカ）というのはギリシャ語に由来する言葉で、何かを発見したときなどに使う感嘆詞なのだそうです。つまりわかった！みたいなことですね。
この定理は三角数定理などと呼ばれ、
『任意の自然数は三つ以下の三角数の和で表すことができる』というものらしいです。証明は割愛しますが、105は、
$$105=6+21+78$$
と表されます（6は3まで、21は6まで、78は12までの和）。ちなみに、0も三角数（0までの和）ということにすれば、3つ以下の三角数、ではなく『3つの三角数』という事にできます。そしてこの3つの三角数はすべて異なるものでなければならないわけでもないです。
ちなみに、これは三角数に限った話ではなく、多角数定理と言って、
『すべての自然数はn個のn角数の和で表される』
というものもあるそうです。0番目のn角数を0と定義するならちょうどn個とできますしね。
三角数の和を求める公式のように簡単なわけではないですが、三角数の和の方の理解はそこまで難しいわけでもないです。挑戦してみてもいいかもしれません。
では来週も張り切って！エウレカ！
