12月14日

こんにちは。もうどんどん寒くなってきてますね。僕は手袋がないと外に出れません。

　

さて今回は、フィボナッチ数列を使ってこんな予想をしてみました。

フィボナッチ数列において、nの倍数は必ず等間隔に現れる（nは自然数）。

今日は珍しく、自分で問題を掲げてみたいと思います。

さて、この問題を具体的に表してみるとこうなります。

$$1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ･･･$$

例えば、2の倍数の場合。フィボナッチ数列から2の倍数を探してみると

$$2, 8, 34, 144, ･･･$$

です。この数字がどこにあるか確かめてみると...数字を間に2つ挟んで並んでいるんですよね。

これがずーっと続いて、また3の倍数とかでも成り立つかっていう予想です。

　

ではまず、フィボナッチ数列にある数nの倍数について考えようと思います（nは2つ目の項以降の数）。

初めに、nの一つ前の項をmとします。すると、mから先のフィボナッチ数列は、

$$m, n, m+n, m+2n, 2m+3n, 3m+5n, 5m+8n･･･$$

となります。nの倍数がどのくらい出てくるか、を考えると、まず、2nとか3nとかはnの倍数ですよね。なので、フィボナッチ数列の項がnの倍数であるためにはmの項の方がnの倍数でないといけません。

で、そのmの係数だけを見ると、

$$1, 0, 1, 2, 3, 5, ･･･　　①$$

これってフィボナッチ数列に似てませんか...？最初のところはちょっと違いますけど、さっきのnとmの数列のmを眺めているとフィボナッチ数列が続くのはなんとなく感じられるかと思います。

さて、ここで、nはフィボナッチ数列の項でした。なので、　①の中にnは含まれています。つまり...例えばnが5の場合、①において5の部分、つまり5m+8nが5の倍数になっています。

で、nはもちろんnの倍数なので...nと5m+8nの間には4つ項がありますね。なので、間隔は4です。

また、同じように考えると5m+8nをnとして考えると、そこから4つ数字を飛ばしたところもnの倍数になると考えられます。

なので、フィボナッチ数列において、5の倍数は間に4つ数字を挟んで、等間隔で現れることになります。これは5の倍数に限らず、nがフィボナッチ数列の数字の場合は何でも成り立ちます！

また、その間隔というのは①より、フィボナッチ数列から求められそうですね。

あれ？でも...mがnの倍数だったら、そんな間隔なくてもいいんじゃ...

と、思うんですが、ここで大事なことがあります。フィボナッチ数列で隣り合う数は、互いに素なんです。証明は割愛しますが、無限降下法という方法で証明できるらしいです（フェルマーの最終定理で、n=4（ここのnじゃないです）の場合をフェルマーが証明したんですが、そこでも使われています）。

なので、地味に複雑ですが、nまでにある数の個数が、nの倍数の現れる間隔なんですね。

フィボナッチ数列の項nの倍数について、証明できました。

　

次回は、nの倍数以外の、フィボナッチ数列に含まれない数の倍数についても考えたいです。フィボナッチ数列は次で最後ですかね...。

では、来週も明るくいきましょう！