12月21日

こんにちは。もうすぐクリスマスですね。

　

さて今回は、最後のフィボナッチ数列の話題です。先週はフィボナッチ数列の数nの倍数が等間隔に現れることを示しました。

なので、これをこんな問題に変えたいと思います。

フィボナッチ数列において、$n$の約数$n_2$の倍数は等間隔に現れる。

なんか分かりづらいですね。ここで言っているのはこんなことです。

例えば、フィボナッチ数列の項21は、7の倍数です。この7の倍数は、等間隔に表れます。

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368 …

...ただこれ、意外とすぐに示せるんですね。

n→m→n+m→n+2m→2n+3m→･･･

まず、フィボナッチ数列の項lより前の項に、n_2の倍数は現れないとします（lは最初の、n_2の倍数のフィボナッチ数列の項）。

先週わかりましたが、nとmの係数はフィボナッチ数列の数です。上の数列に出てくる項kn+lm(k,lは非負整数）に関して、nはn_2の倍数なのでknもn_2の倍数です。なので、kn+lmがn_2の倍数になるためにはlmもn_2の倍数にならなければなりません。また先週と同じようにnとmは互いに素なので、lがn_2の倍数でない限り、lmはn_2の倍数にはなりません。

ここで、nも、lも、どちらもフィボナッチ数列の数になるので、数列を続けていくとlがn_2の倍数（l=nの場合も含む）となるところがあります。ここで、またkn+lmがn_2の倍数になりますね。...ちなみに、l=nのときは、lの定義より、nも初めのn_2の倍数のフィボナッチ数列の項です。

で、このkn+lmをまたnとして、同じ操作をする...。

そうすると、n_2の倍数が等間隔で現れることになるんですね。

これで示せました。やり方は先週と同じ感じで、意外とすぐに示せました。

ただ、これだとフィボナッチ数列にすべての自然数の倍数があるとは言えません。

これって...どうやって...。

いつか示せたら、また記事を書きたいと思います。

　

...ちなみに、来週は天気図考察のため、ブログ更新をお休みします。なので、今回は今年最後のブログ更新になります。

少し早いですが、2025年も張り切って過ごしていきましょう！