11月15日

こんにちは。今日11月15日は七五三の日です。15日は、七五三の7+5+3=15から来ているらしいですよ。

　

さて、そんな7と5と3はどれも素数です。この（3,5,7）という組は三つ子素数と呼ばれています。きょうはその三つ子素数を紹介していきます。

三つ子素数は簡単に言えば、『いくつかのパターンのほぼ一定の間隔で並んでいる3つの素数の組』のことです。(3,5,7)は言ってしまえば公差2の等差数列であり、三つ子素数となります。

そんな公差2の等差数列以外にも2パターンの三つ子素数があります。1つ目は(7,11,13）などで、ある素数$p$と$p+4$と$p+6$で表されるものです。また2つ目は(11,13,17)などで、ある素数$p$と$p+2$と$p+6$で表されるものです。もちろん、3つともすべてが素数でなければいけません。

この3つのパターンの三つ子素数がありますが、公差2の等差数列（$p$と$p+2$と$p+4$）については(3,5,7)の1組しか存在しません。見つかっていないのではなく、存在しないのです。

なぜか？

それは、この組以外だと必ずどれかの数字が3以外の3の倍数となってしまい、素数でなくなってしまうからです。

　

$(p,p+2,p+4)$という組（pは素数）があるとします。pは3以外で考えたいand素数で考えたいので、pは3の倍数ではない、つまりnを非負整数としてp=3n+1もしくは3n+2と表せます。それぞれの場合について考えるとこの組は

p=3n+1の場合

　$(3n+1,3(n+1),3(n+1)+2)$

p=3n+2の場合

　$(3n+2,3(n+1)+1,3(n+2))$

となり、いずれも3(n+1)、3(n+2)と3以外の3の倍数、つまり素数ではないものが含まれています。p=3以外とするとはじめの$(p,p+2,p+4)$の組は三つ子素数となりませんでした。なので、この組の三つ子素数は(3,5,7)しか存在しません。

　

今回は三つ子素数を紹介しました。似たものに、2つの素数の組の双子素数があります。気になる方は調べてみてください。

それでは今週も明るく過ごしていきましょう！